Применение нестандартных методов при выполнении заданий ЕГЭ. Песков Аркадий Геннадьевич, Сюкеевская СОШ, Камско-Устьинский район.
Многие задания предполагают перевод чисел в двоичную систему счисления. Так как в бинарных системах счисления применяются всего 2 цифры и каждое разрядное слагаемое повторяется не более одного раза, то часто проще решить задачу применяя разложение чисел на разрядные слагаемые. Такое разложение удобно представить в виде таблицы.
| 2048 |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В первой строке размещаем значения разрядных слагаемых, а во второй – цифры двоичного числа.
Пусть нужно перевести в десятичную систему счисления двоичное число 11100111. Заносим цифры этого числа во вторую строку таблицы и находим сумму всех разрядных слагаемых, которым соответствует единица.
| 2048 |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Число в десятичной системе счисления равно 128+64+32+4+2+1=231.
Обратную операцию также удобно проводить с использованием этой таблицы: находим набольшее разрядное слагаемое, не превосходящее данное и поставим в соответствующую клетку второй строки единицу. Найдём остаток, т.е. количество единиц числа, не размещенных в таблице. С остатком будем производить те же действия, пока остаток не станет равным нулю. Свободные клетки второй строки заполним нулями. Приведём пример: представим в двоичной системе счисления число 710.
512 < 710 < 1024, поэтому заносим единицу в столбец «512»
| 2048 |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
710-512=198. Столбец 256 пропускаем. Находим новый остаток 198 – 128 = 70.
| 2048 |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Далее: 70- 64 = 6.
| 2048 |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Пропускаем столбцы 32, 16 и 8. 6-4=2.
| 2048 |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
Следующий остаток 2 -2 =0 .
| 2048 |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
Последний найденный остаток равен нулю, значит, осталось только поставить нули в незаполненные клетки, и задача решена.
| 2048 |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Итак 710 10 = 1011000110 2
Покажем на примерах, как данную таблицу можно использовать при решении заданий ЕГЭ по информатике. Задания взяты из пособия Якушкин П.А. и др. «Информатика. Типовые текстовые задания», М, «Экзамен», 2010.
Задание А3
Вариант 3. Дано: а = 21 16, b = 43 8. Какое из чисел х, записанных в двоичной системе счисления, отвечает условию a < x < b?
1) 100001
2) 100010
3) 100100
4) 101010
В одной таблице, применяя тетрады и триады переведем данные числа в двоичную систему счисления и поместив между ними значения х, выберем нужный ответ.
| |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| a |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
| X 1) |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
| X 2) |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
| X 3) |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| X 4) |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
| b |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
(Оттенками жёлтого цвета выделены тетрады при переводе в двоичную систему числа а . синего – триады при переводе числа b. Красным цветом показаны разрядные единицы, по значению которых отбрасываем неверные ответы, зелёным – правильный ответ.
Верный ответ №2.
Вариант 5. Сколько значащих нулей в числе в двоичной записи числа 48?
1) 1 2)2 3)6 4)4
| 2048 |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Верный ответ №4
Вариант 7. Переведите в двоичную систему счисления число 57.
| 2048 |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
